यदि y = {left[ {x + sqrt {{x^2} - 1} } right] | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}} + {\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\f

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$225y$

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(A) दिया गया है $y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}} + {\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{{dy}}{{dx}} = 15{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right) + 15{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right)$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{15}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\left[ {{{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}} - {{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}}} \right]$.माना $u = x + \sqrt{x^2-1}$ और $v = x - \sqrt{x^2-1}$ है। तब $uv = 1$ और $y = u^{15} + v^{15}$ है।$\frac{dy}{dx} = \frac{15}{\sqrt{x^2-1}}(u^{15} - v^{15})$.माना $y_1 = u^{15} + v^{15}$ और $y_2 = u^{15} - v^{15}$ है। तब $\sqrt{x^2-1} \frac{dy}{dx} = 15 y_2$ है।पुनः अवकलन करने पर: $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2-1} \frac{d^2y}{dx^2} = 15 \frac{dy_2}{dx}$.यहाँ $\frac{dy_2}{dx} = \frac{15y}{\sqrt{x^2-1}}$ है।अतः,$x \frac{dy}{dx} + (x^2-1) \frac{d^2y}{dx^2} = 15(15y) = 225y$.

यदि $y = {\left[ {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right]^{15}} + {\left[ {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right]^{15}}$ है,तो $\left( {{x^2} - 1} \right)\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + x\frac{{dy}}{{dx}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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